1. Математическая модель гидродинамических и тепломассообменных процессов в изложнице

При формировании многослойного слитка заполнение литейной формы осуществляется как сифонным способом, так и разливкой сверху (рис.1, а, рис.1, б.). Заливка расплава при формировании слитка с внутренним холодильником происходит только сверху (рис.1, в). Общая схема формирования композитного слитка характеризуется следующим.

В начальный момент времени  начинается заполнение полости изложницы расплавом с температурой Т=Т0, через стакан радиусом R.

Рис. 1. Схема области исследования слитка: 1 – расплав; 2 – изложница; 3 – прибыль; 4 – твердая фаза слитка; 5- струя поступающего расплава; 6 – внутренний холодильник.

На основе экспериментальных и теоретических исследований  процесса формирования слитков, разработана математическая модель кристаллизации слитка, которая основывается на следующих предположениях [2-17]:

• процесс заполнения изложницы считается симметричным относительно вертикальной оси координат;
• скорость поступления расплава в изложницу Vm постоянная;
• температура и химический состав по всему объему расплава в начальный момент времени распределены равномерно;
• за характерный размер исследуемой области выбирается наибольшая полуширина слитка Х0;
• затвердевание стали происходит при идеальном тепловом контакте слитка с изложницей;
• поверхность зеркала металла плоская и невозмущена механическим воздействием струи, граница поверхности уровня расплава в изложнице плоская;
• предполагается идеальный тепловой контакт между расплавом и стенкой изложницы;
• при введении внутреннего холодильника в расплав предполагается идеальный тепловой контакт последнего с расплавом;
• коэффициенты теплопроводности, удельной теплоемкости и кинематический коэффициент вязкости для расплава считаются постоянными;
• изложница предварительно (на 20%) заполнена расплавом (высотой Н0), температура которого в начальный момент времени соответствует температуре разливаемого металла [2];
• величина скорости перемешивания в жидкой части слитка в начальный момент времени равна нулю;
• струя разливаемого расплава идеально организована;
• уравнение гидродинамики записывается в приближении Буссинеска [2].

Введем безразмерные переменные следующим образом:

х = х/X0;      y = y/X0;     V0 = Ж/X0;     Vy= vy /V0;

Vx= vx /V0;     Ж=лЖ/(cЖ сЖ);     и =T/T0.

В основу математической модели формирования многослойного слитка, а также слитка с внутренним холодильником положены уравнения гидродинамики и тепломассопереноса, широко используемые при численных исследованиях затвердевания стальных слитков [2, 9]. Для исследования гидродинамических процессов в расплаве и двухфазной зоне используются уравнения движения несжимаемой вязкой жидкости (уравнение Навье ‑ Стокса и уравнение неразрывности) в приближении усредненных вложенных макроконтинуумов.

Критериальная форма записи уравнений в переменных вихрь - функция тока, описывающих этот процесс, имеет вид уравнениz Пуассона для осредненной функции тока ψ:

       ;        (2)

Процессы теплопереноса описываются уравнением переноса в безразмерной форме. Уравнение теплопереноса  температуры θ, имеет следующий вид:

               (3)

Уравнение переноса импульса в переменных вихрь ω, функция тока ψ записывается в виде:

               (4)

Таблица  1.

Теплофизические параметры слитка, изложницы и холодильника

Уравнение доли твердой фазы ξ определяется так:

               (5)

где  θL θS – безразмерные температуры стали.

Уравнения переноса кинетической энергии k и скорости диссипации турбулентной кинетической энергии ε представлены уравнениями:

               (6)

       (7)

где ν = ν0(1+ξγ) - постоянная эксперимента, определяющая величину поправки к ν0 в зависимости от дисперсности среды в области двухфазной зоны (ДФЗ); ξ - доля твердой фазы, которая определяется из правила неравновесного рычага (5)  - турбулентная вязкость; турбулентное число Рейнольдса.

Как видно, система уравнений (1) - (7) полностью соответствует системе уравнений, описывающих гидродинамику и теплоперенос, при разливке и затвердевании слитка.

Начальные условия для этапа наполнения изложницы:

               (8)

Граничные условия для функции тока и температуры:

                   (9)

                   (10)

       ,        (11)

               (12)

            ,        (13)

        .        (14)

Граничные условия для турбулентной кинетической энергии и скорости ее диссипации:

               (15)

               (16)

               (17)

               (18)

Граничные условия для функции тока, турбулентной кинетической энергии и скорости ее диссипации на стадии затвердевания расплава записываются в виде:

               (19)

               (20)

        ;        (21)

               (22)

где Biвоз=С(PrвGr)n- критерий Био, а С и n – табличные величины [18], Prв, λв –критерии Прандтля и теплопроводность для воздуха, Tu=0,02 –начальный уровень турбулентности, такая величина Tu оправдана значительной турбулезацией воздуха падающей струей: l0=0,1r – масштаб турбулентности.

Граничные условия для ω формируются на стадии конечноразностной аппроксимации, механизм их получения описан ниже.

Таким образом, представлена математическая модель, позволяющая описать гидродинамику и тепломассоперенос во всей исследуемой области течения, как в период наполнения изложницы, так и при затвердевании расплава с внутренним холодильником. Решение сопряженной задачи гидродинамики, теплопереноса при формировании многослойного слитка и в системе холодильник – расплав - стенка изложницы - окружающая среда существенно отличает представленную постановку от других [19].

Перейти к следующему разделу

Математическое моделирование гидродинамических и теплообменных процессов в стальных слитках