2. Методы решения уравнений теплопроводности и гидродинамики

Уравнения (2) и (4)  могут быть решены различными методами:

Сравнительные достоинства методов (ω - ψ) и (и, v, p) зависят от решаемой задачи. Главную роль всегда играет опыт предшествующих расчетов, но при выборе системы уравнений видим, что в большинстве случаев (за исключением задач со свободной поверхностью или задач о движении жидкостей с поверхностями раздела) целесообразно брать (ω - ψ) систему [19].

Если не требуется находить нестационарное решение для давления, то в (ω - ψ) системе приходится решать одно уравнение переноса вихря параболического типа и одно уравнение для функции тока эллиптического типа с условиями Дирихле на некоторых (возможно на всех) границах. В (и, v, p) системе надо решать два уравнения переноса количества движения, имеющих параболический тип, и одно уравнение эллиптического типа для давления с граничными условиями Неймана на всех границах.

При решении уравнения переноса вихря ω необходимо дополнительно выполнить операцию дифференцирования функции тока ψ  для нахождения составляющих скорости. Решать уравнение переноса вихря ω можно по неявным схемам, хотя при этом может потребоваться дополнительный итерационный процесс для неявного вычисления значений ωn+1 на стенках ковша при условии прилипания. В случае же (и, v, р) системы значения иn+1и vn+l известны точно в течение всего времени, но здесь существует трудность, связанная с неустойчивостью из-за нелинейности. Достижение итерационной сходимости при решении уравнения давления p эллиптического типа требует значительно больше времени, чем при решении эллиптического уравнения для функции тока. Это объясняется различием граничных условий.

Сравним эти две системы для случая, когда нужно, получить нестационарную картину линий тока. В случае (ω - ψ) системы линии тока ψ = const строятся с помощью простой интерполяции. В случае же (и, v, p) системы они определяются интегрированием, причем наиболее точный способ состоит в решении уравнения Пуассона.

Таким образом, при решении двумерного уравнения с условиями прилипания и непроницаемости на всех границах, предпочтительней использовать (ω - ψ) систему, которая зарекомендовала как быстросходящаяся и имеющая высокий уровень аппроксимации.

Для перехода в систему (ω - ψ), осуществляется операция «rot», после чего  уравнение Навье-Стокса переписывается в виде:

               (12)

Функция тока представлена в следующем виде:.

Уравнение Пуассона .        (13)

С учетом этих  преобразований изменяется уравнение теплопереноса


.                       (14)


Краевые условия для гидродинамики, так же преобразуются.

Координаты

Условия при заливки

Условия при затвердевании


r = 0:

ψ=0

ψ=0

(15)

z = H:

(16)

r = Lr:

ψ=

ψ=0

(17)

z = Lz:

(18)

t = 0:                ω= ψ= 0;


Введем безразмерные переменные следующим образом:

х = х/X0;      y = y/X0;     V0 = aЖ/X0;     Vy= vy /V0;

Vx= vx /V0;     aЖ=лЖ(cЖ сЖ);     и =T/T0.                                (19)


Переход к безразмерным величинам, позволяет решать не просто конкретную задачу, а целый класс такого рода задач.

       Учитывая соотношения (19) в уравнениях (12) и (13), получаем систему критериальных уравнений


;                (20)        

.                                (21)


где: Fo, Pr, Gr критерии Фурье (), Прандтля (ν/a), Грасгоффа ().

а коэффициент температуропроводности,

ΔТ температурный перегрев.


Краевые условия для уравнений гидродинамики остаются в виде, представленном зависимостями (15) - (18). Что же касается краевых условий для температуры, то с учетом выражений (19) они запишутся в виде:


Fo=0:                                                                (22)

r = 0:

(23)


z = H:

(24)


r = Lr:

(25)

z = Lz:

(26)

на внешней стенке изложницы:

на поддоне:

здесь θ= Т/Т0 безразмерная температура,

Т0 начальная температура.


Перейти к следующему разделу

Математическое моделирование гидродинамических и теплообменных процессов в стальных слитках